Cours de mathématiques : Analyse

L’analyse constitue un pilier fondamental des mathématiques et un outil indispensable pour aborder avec succès les épreuves scientifiques du concours de médecine. Ce cours débute par la définition précise de la notion de fonction, en abordant son domaine de définition, son image et la manière de composer, additionner ou multiplier des fonctions. On y étudie les fonctions élémentaires et leurs propriétés essentielles, en prêtant une attention particulière à leur représentation graphique. Les fonctions du premier degré et du second degré sont détaillées, avec un focus sur les notions d’extremum et d’axe de symétrie, indispensables pour interpréter rapidement un graphique ou modéliser un phénomène biologique. Les fonctions trigonométriques, leurs réciproques (arcsin, arcos, arctg), ainsi que les fonctions exponentielles et logarithmes de base courante (notamment en base e et 10) sont également présentées, en lien avec des applications fréquentes dans les sciences médicales, comme la modélisation de phénomènes de croissance ou de décroissance.

La maîtrise des techniques classiques de l’analyse est un atout majeur pour réussir les exercices de calcul et de raisonnement exigés lors du concours. Le cours aborde les limites en un point, à l’infini, et les limites latérales, en détaillant leur définition et les méthodes élémentaires de calcul. Les notions de continuité sont introduites pour mieux comprendre les comportements des fonctions dans un contexte théorique et appliqué. La dérivation est ensuite étudiée en profondeur : définition du nombre dérivé, interprétation graphique et physique, formules de dérivation des fonctions usuelles, règles de dérivation pour les sommes, produits, quotients et compositions de fonctions. Ces outils sont mis en pratique pour étudier les variations d’une fonction, rechercher des extrema et analyser la concavité, compétences essentielles pour résoudre rapidement des problèmes complexes.

Enfin, le cours traite de la primitivation et de l’intégration, deux notions clés dans la résolution d’équations différentielles ou l’interprétation de résultats expérimentaux. Les méthodes classiques de calcul, comme la substitution ou l’intégration par parties, sont illustrées par des exemples concrets. La définition et le calcul de l’intégrale définie sur un intervalle [a,b] sont présentés en lien avec la variation d’une primitive, permettant de comprendre et manipuler des grandeurs continues, fréquentes dans les modèles biomédicaux. Cette approche complète de l’analyse offre aux candidats toutes les bases nécessaires pour affronter sereinement les épreuves mathématiques du concours de médecine, avec rigueur et efficacité.

Sommaire du cours vidéo d' Analyse

• Définition de la notion de fonction, domaine de définition, image. Sommes, produits, composées de fonctions. 
• Définition de fonctions élémentaires, leurs propriétés importantes et leur représentation graphique, notamment :
  • les fonctions du premier degré.
  • les fonctions du second degré (en particulier extremum et axe de symétrie).
  • les fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques (arcsin, arcos, arctg).
  • les fonctions exponentielles et logarithmes de base courante (e et 10 en particulier).
• Les techniques classiques de l'analyse :
  • Limite en un point, limite à l'infini, limites à gauche et à droite : définitions et calculs élémentaires.
  • Notions élémentaires sur la continuité.
  • Dérivation : définition et interprétation du nombre dérivé, connaissance des fonctions dérivées de fonctions usuelles, dérivées de sommes, produits, et quotients de fonctions, dérivées des fonctions de fonctions. Utilisation pour l'étude des variations, la recherche d'extrema et l'étude de la concavité.
  • Primitivation : définition, connaissance des primitives classiques, primitivation par substitution et par parties.
  • Intégration : définition de l'intégrale définie d'une fonction sur un intervalle [a,b], calcul par variation d'une primitive.